Witam wszystkich, dzisiaj zajmę powyższym tematem. Zadań będzie 6 – mam nadzieję, że będzie wszystko przeze mnie zrozumiale opisane. No to zaczynamy.
Pierwsze dwa zadania dotyczą zagadnienia, w którym trzeba sprawdzić, dla jakich parametrów m, równanie ma 2 rozwiązania/1 rozwiązanie/nie ma rozwiązań. Jest to bardzo proste zagadnienie w którym musimy tylko znać 3 prawidłowości:
1. Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy Δ > 0
2. Równanie ma jedno rozwiązanie, gdy Δ = 0
3. Równanie nie ma rozwiązań, gdy Δ < 0
Gdy już to wiemy, pierwsze dwa zadania są bardzo proste do wykonania. No to zaczynamy:
Zad. 1.
Dla jakich wartości parametru m, równanie x2+x+m = 0, ma co najmniej jedno rozwiązanie?
Zapisujemy sobie równanie i rozpisujemy czynniki, a, b i c:
Gdy już to zrobiliśmy obliczamy musimy wyznaczyć deltę:
Po wyznaczeniu delty musimy przyrównać deltę do zera zgodnie z powyższymi prawidłowościami. My musimy znaleźć m dla którego równanie ma CO NAJMNIEJ jedno rozwiązanie. To oznacza, że równanie może mieć jedno, lub dwa rozwiązania. W takim razie delta musi być większa, bądź równa zero. Możemy to zapisać jedną nierównością:
Jest to nierówność liniowa, więc rozwiązujemy ją poprzez przeniesienie nie wiadomej na jedną stronę, a liczba na drugą stronę:
Teraz możemy wyznaczyć, z tego nam wyszło, przedział, który będzie odpowiedzią:
Zadanie rozwiązane. Przejdźmy do kolejnego:
Zad. 2.
Dla jakich wartości parametru m, równanie x2 + (m – 1)x + 1, nie ma rozwiązania?
Zapisujemy działanie i rozpisujemy czynniki a, b i c:
Zapisujemy wzór na deltę:
Podstawiamy nasze czynniki pod wzór:
Teraz czas to w jakiś sposób przekształcić. Rozpisując (m-1)2 musimy skorzystać z wzoru skróconego mnożenia (a-b)2 = a2 – 2 • a • b + b2
Upraszczamy co się da:
Teraz aby to jeszcze bardziej uprościć musimy opuścić nawias:
Naszą deltę musimy przyrównać do jednej z prawidłowości. My mamy znaleźć takie m, aby równanie nie miało rozwiązań. Równanie nie ma rozwiązań, gdy Δ < 0. Zapiszmy tą nierówność:
Wyszła nam nierówność kwadratowa, którą obliczmy podobnie do równania kwadratowego. Piszemy czynniki a, b i c, aby nie pomylić z pierwszymi czynnikami dopiszmy przy nich w indeksie dolnym “m”:
Obliczmy deltę (też dopiszmy w indeksie dolnym “m”):
Gdy już nam wyszła delta, która jest dodatnia, obliczmy jej pierwiastek:
Czas obliczyć dwa rozwiązania. Obliczamy je z wzorów na x1 i x2, jednak zamiast x piszemy m. Napiszmy te wzory:
Podstawmy i obliczmy:
Teraz, aby dokończyć wyznaczanie rozwiązanie nierówności, musimy narysować oś i parabolę z punktami zerowymi, którymi są m1 i m2 (miejsca, gdzie wykres przecina się z osią x) – ja czerwonymi kropkami zaznaczyłem sobie miejsca zerowe, wy nie róbcie w ten sposób:
Ponieważ wcześniej było, że m musi być mniejsze od zera to zaznaczmy część pod osią x:
Końce zaznaczonego przedziału oznaczamy nie zamalowanym kółkiem, ponieważ końce nie należą do tego przedziału (gdyby w nierówności byłoby mniejsze bądź równe to oznaczylibyśmy kółkiem zamalowanym):
Odczytujemy przedział i podajemy odpowiedź, którą jest:
m ∈ (-1, 3)
Kolejne zadania tyczą się równań kwadratowych, w które będą miały dwa różne rozwiązania. W nich trzeba będzie znaleźć takie m, aby to równianie miało dwa różne rozwiązania dodatnie/ujemne/jednakowych znaków/różnych znaków. Aby to zrobić musimy znać pewne warunki. Jest ich 4, a o to one, dla każdego z przypadków:
1. Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania dodatnie,gdy:
2. Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania ujemne, gdy:
3. Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania jednakowych znaków, gdy:
4. Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania różnych znaków, gdy:
Gdy już to wiemy, możemy zabrać się za rozwiązywanie kolejnych 4 zadań
Zad. 3
Dla jakich wartości parametru m, równanie x2 + 8x + m + 2 = 0, ma dwa różne pierwiastki jednakowych znaków?
Zapisujemy sobie równanie i piszemy czynniki a, b i c:
Dopasowujemy odpowiednie warunki do naszego zadania (w tym przypadku są to warunki z trzeciego przypadku) i zapisujemy je:
Czas zacząć sprawdzać te warunki (jeżeli, któryś nie zgodziłby się, lub nie dałoby się go wyliczyć, oznaczałoby, że równanie nie może, w tym przypadku, mieć dwóch rozwiązań o jednakowych znakach)
Sprawdzamy pierwszy warunek, czyli czy a jest różne od zera. W tym przypadku jest. Zapisujemy to i zaczynamy obliczać deltę do drugiego warunku:
Teraz podstawiamy deltę do drugiego warunku:
Rozwiązujemy nierówność liniową. W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie dla drugiego warunku:
Aby otrzymać rozwiązanie dla warunku trzeciego musimy skorzystać z wzorów Viete’a. Oto i one:
Trzeba tylko podstawić odpowiedni wzór pod nierówność:
Aby otrzymać odpowiedź do tego zadania musimy znaleźć iloczyn (cześć wspólną) z rozwiązań drugiego i trzeciego warunku. Narysujmy oś liczbową i zaznaczmy tam te rozwiązania:
Wystarczy odczytać teraz część wspólną tych dwóch przedziałów. Jest nimi:
m ∈ (-2, 14)
Zadanie rozwiązane. Teraz kolejne zadanie.
Zad. 4.
Dla jakich wartości parametru m, równanie x2 + (m-3)x + m = 0, ma dwa pierwiastki o różnych znakach?
Początek jest identyczny jak poprzednio, czyli piszemy równanie, piszemy czynniki a, b i c, oraz dopasowujemy warunki do zadania (są to czwarte warunki z naszej listy):
Zaczynamy analizować kolejne warunki. Pierwszy jest spełniony, bo a jest różne od zera. Dla drugiego przypadku obliczamy deltę (w tym przypadku znów musimy użyć wzór skróconego mnożenia):
Mając deltę rozwiązujemy nierówność z drugiego warunku. Jest to nierówność kwadratowa dlatego liczymy drugą deltę:
Teraz obliczamy m1 i m2:
Gdy już mamy m1 i m2 to rysujemy wykres przedstawiający parabolę z miejscami zerowymi będącymi m1 i m2 (pamiętajcie, że ja tylko sobie tymi kropkami zaznaczyłem miejsca zerowe – wy ich nie zaznaczajcie w ten sposób):
Patrzymy na równanie i zaznaczamy część wykresu zgodnie z równaniem: 
Odczytujemy zaznaczone w tym przypadku dwa przedziały i zapisujemy je:
W ten sposób znaleźliśmy rozwiązanie dla drugiego warunku. Czas zająć się ostatnim warunkiem. Robimy dosłownie tak samo jak w poprzednim zadaniu:
Mamy rozwiązanie trzeciego warunku. Czas w ten sposób powstałe przedziały zaznaczyć na osi i wyznaczyć część wspólną (Przepraszam, za tego screena, ale moje narzędzia do tworzenia wykresów przegrały walkę z “skomplikowanym” przedziałem):
Odczytujemy rozwiązanie:
W ten sposób zrobiliśmy kolejne zadanie. Czas zająć się następnym
Zad.5.
Dla jakich wartości parametru m, równanie x2 + (2m-3)x + 2m+5 = 0, ma dwa różne pierwiastki dodatnie?
Po raz kolejny zacznijmy od zapisania równania, czynników a, b i c, oraz dopasowania zestawu warunków do treści zadnia (jest to pierwszy zestaw):
Pierwszy warunek jest spełniony. Czas zająć się drugim. Wyliczamy deltę (korzystamy również z wzoru skróconego mnożenia:
Teraz podstawiamy naszą deltę pod nierówność z drugiego warunku:
Ponieważ jest to nierówność kwadratowa, piszemy czynniki a, b i c (wszystkie z indeksem dolnym “m”), oraz obliczamy dla niej deltę (też z “m” w indeksie dolnym):
Ponieważ delta wyszła nam dodatnia, to obliczamy jej pierwiastek i obliczamy m1 i m2:
Gdy mamy m1 i m2, rysujemy parabolę z miejscami zerowymi będącymi m1 i m2, zaznaczamy część wykresy znajdującą się nad osią x i rzutujemy ją na oś x (ponieważ, że w nierówności było tylko mniejsze, to zaznaczamy końce kółkami nie zamalowanymi):
Odczytujemy przedział:
Mamy rozwiązanie dla warunku drugiego. Zajmujemy się pozostałymi dwoma warunkami. W nich korzystamy z wzorów Viete’a. To zapiszmy sobie nierówność z warunku trzeciego warunku, podstawmy i wyliczmy:
To samo robimy dla warunku czwartego:
Gdy już mamy rozwiązania tych trzech warunków, czas z nich wyznaczyć część wspólną. Narysujmy oś i zaznaczmy te przedziały:
Zostało nam odczytać rozwiązanie:
Rozwiązaliśmy zadanie nr 5. Zostało nam ostatnie zadanie, ale zostawię, go bez żadnego komentarza, ponieważ robi się identycznie jak poprzednie. Same obliczenia:
Zad. 6.
Dla jakich wartości parametru m, równanie x2 + mx + m+(5/4) = 0, ma dwa różne pierwiastki dodatnie?
Odpowiedź: 
Zadania wykonane. Jak coś nie zrozumiecie, pytać.
Pozdrawiam
Jakub Szatkowski
SzateX 